CHI- CUADRADO

Es sólo uno de los muchos procedimientos utilizados para tal fin. Cuando se trabaja con distribuciones continuas, la prueba chi cuadrado tal vez no sea el mejor procedimiento. Sin embargo, dada su gran disponibilidad en los paquetes de software estadísticos, es necesario que los ingenieros se familiaricen con este procedimiento. 

La prueba chi cuadrado se basa en la comparación entre la frecuencia observada en un intervalo de clase y la frecuencia esperada en dicho intervalo, calculada de acuerdo con la hipótesis nula formulada. Es decir, se quiere determinar si las frecuencias observadas en la muestra están lo suficientemente cerca de las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula.

Se utiliza la formula siguiente para aceptar o rechazar la prueba de hipótesis a evaluar

Los pasos para realizarla en Excel puede ser resumida de la siguiente manera:

1) plantear la hipótesis:

2) los datos se organizan en una tabla por intervalos donde se le halla la frecuencia a cada uno de los intervalos.

3) se halla la frecuencia relativa esperada acumulada la cual se da al relacionar la distribución a la cual se este evaluando con el limite superior del intervalo y su media y desviación etandar

4) se halla la frecuencia relativa esperada restando la frecuencia relativa esperada acumulada con su antecesora.

5)  se halla la frecuencia observada esperada multiplicando la frecuencia relativa esperada con la cantidad de datos recogidos

6) se aplica la formula de CHI- CUADRADO

 

7) a continuación se suma todos los datos arrojado de la formula que se realizo

 

8) se definen los grados de libertad y con este dato se compara con la tabla de CHI-CUADRADO

9) Si el estimador de la prueba (D) es menor que el valor que se encontró en la tabla entonces se acepta la hipótesis Ho (hipótesis nula) planteada antes de estudiar la muestra, de lo contrario se acepta la hipótesis alternativa Ha.

 

Ø      RUBIN, DAVID, Richard I. Levin, Estadística para administración y economía

Ø      Apuntes clase de simulación de procesos empresariales por el profesor Medardo González

HISTORIA DE LA ALEATORIEDAD

Aproximadamente alrededor del año 3500 a.C., los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, los cuales podrían ser considerados como los precursores de los dados, estos fueron ampliamente desarrollados en Egipto y otros lugares. En el siglo XVII, un noble francés, Antoine Gombauld (1607-1684), puso en tela de juicio el fundamento matemático del éxito y del fracaso en las mesas de juego y por esto le formuló la siguiente pregunta al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662): ¿cuales son las probabilidades de que salgan dos de seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de una par de dados?, pascal resolvió el problema, pues la teoría de probabilidad empezaba a interesarle tanto como a gombauld. Ambos compartieron sus ideas con el famoso matemático Pierre de Fermat (1601-1665), y las cartas escritas por los tres constituyen la primera revista académica dedicada a la probabilidad. Algunos de los problemas que ellos resolvieron habían permanecido sin solución durante unos 300 años. Sin embargo, ciertas probabilidades numéricas para ciertas combinaciones de dados ya habían sido calculadas por Giordamo Cardano (1501-1576) y por Galileo Galilei (1564-1642).

mas tarde, Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph LaGrange (1736-1813) inventaron formulas y técnicas de probabilidad. En el siglo XIX,  Pierre Simón, Marques Delaplace (1749-1827), unifico esas primeras ideas y formulo la primera teoría general de la probabilidad, la cual fue aplicada inicialmente con buenos resultados a los juegos de azar; con el tiempo también se aplico en la búsqueda de soluciones analíticas a problemas de naturaleza no deterministica. La teoría de la probabilidad ha sido constantemente desarrollada desde el siglo XVII y ampliamente aplicada en diversos campos de estudio. Hoy es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de ingeniería, ciencias y administración, y se constituye en la base para el estudio de fenómenos o procesos aleatorios mediante el método de Montecarlo, que es el estudio de las leyes de azar.

En cuanto a los números aleatorios, se puede afirmar que la historia formal comenzó en la década de los cuarenta con el nacimiento del método llamado simulación de Montecarlo, y Von Neumann, Metrópolis, Ulam y Lehmer son considerados y nombrados como los pioneros en este campo. John Von Neumann aparentemente conjeturo el potencial de los computadores para tratar problemas estocásticos en 1945 cuando escribió: “este (el computador) ciertamente abrirá un nuevo enfoque para la estadística matemática, el enfoque para el calculo de experimentos….”. Durante los cuarenta, la simulación de procesos estocásticos permaneció restringida al proyecto secreto del departamento de defensa de estados unidos. La publicación de The Monte Carlo Method por N. metrópolis y Stanislaw M. Ulam en 1949 denota el inicio de la historia oficial del método. Dos años más tarde, D.H.Lehmer propuso el generador lineal de congruencia, el cual, con pequeñas modificaciones propuestas por Thomson y Rotenberg, ha llegado a convertirse en el método para la generación de números aleatorios mas ampliamente usado en la actualidad. Aunque originalmente el método de Montecarlo fue implementado por John Neumann y Stanislaw Ulam, utilizando ruletas y dados en los problemas de difusión de los neutrones, en realidad su auge y crecimiento uso se debe a que hoy se emplean números aleatorios generados por computador.

Antes de la aparición de las computadoras, los números aleatorios eran generados por dispositivos físicos. En 1939, Kendall y Babington-Smith publicaron 100.000 dígitos aleatorios obtenidos con un disco giratorio iluminado con una lámpara relámpago. En 1955, la rand Corporation  publico un millón de dígitos producidos controlando una fuente de pulsos de frecuencia aleatoria (mecanismo electrónico); estos se encuentran disponibles en cintas magnéticas  de la rand.

BIBLIOGRAFÍA

PDF: Números aleatorios “historia, teoría y aplicaciones”. Alfonso Manuel Mancilla Herrera. Ingeniería & desarrollo. Universidad del norte. 10 de octubre del 2000.

http://manglar.uninorte.edu.co/bitstream/10584/1559/1/numeros_aleatorios.pdf  

GENERADORES DE NÚMEROS.

Las características deseables para los generadores de números aleatorios son las siguientes:

· Los números generados no se deben repetir frecuentemente (en ciclos).

· Las series generadas deben ser reproducibles.

· Rapidez en la obtención de los números.

· Almacenamiento mínimo. Tanto el propio generador como los números por el generados.

· Los números generados han de estar uniformemente distribuidos (todos deben tener la misma probabilidad de salir).

· Los valores generados deben ser independientes unos de otros, es decir, que la obtención de cierto valor no esté condicionado por los valores obtenidos anteriormente.

distintos métodos para generación de números aleatorios son:

1) Manual. Por ejemplo, lanzar un dado o realizar extracciones con reemplazamiento de bolas numeradas dentro de una urna.

Ventajas:

- Las series obtenidas son realmente aleatorias.

Inconvenientes:

- Lentitud.

- Las series obtenidas son irreproducibles.

- Requieren gran cantidad de almacenamiento ya que habría que almacenar la serie obtenida.

2) Tablas. (De hasta 100000 números).

Ventajas:

- Las series obtenidas son reproducibles.

Inconvenientes:

- Lentitud.

- Requieren gran cantidad de almacenamiento.

3) Computación analógica. Las series se obtienen mediante fenómenos físicos.

Ventajas:

- Las series obtenidas son realmente aleatorias.

- Rapidez.

Inconvenientes:

- Las series obtenidas son irreproducibles.

4) Computación digital.   Dada una función y una semilla, se van generando los números aleatorios.

Ventajas:

- Rapidez.

- Pocos requerimientos de almacenamiento.

- Las series obtenidas son reproducibles.

Inconvenientes:

-          Los números obtenidos no son independientes.

METODO DE GENERACION DE NUMEROS ALEATORIAS

Varios esquemas han sido propuestos para la generación de los números seudo aleatorios a través de relaciones matemáticas de recurrencia. Estos números se consideran seudo aleatorios, porque aunque pasan todas las pruebas estadísticas de aleatoriedad, ellos son de hecho completamente determinísticos. Actualmente, casi todas las computadoras incluyen en sus programas de biblioteca alguna variante de los métodos congruenciales sugeridos por Lehmer. Los dos métodos congruenciales más populares son: congruencial mixto y congruencial multiplicativo.

CONGRUENCIAL MIXTO

Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de números seudo aleatorios en la cual el próximo número seudo aleatorio es determinado a partir del último número generado, es decir, el número seudo aleatorio X,n+1 es derivado a partir del número seudo aleatorio Xn.

Para el caso particular del generador congruencial mixto, la relación de re­currencia es la siguiente:

Xn+1 = (a Xn + c) mod  m     

donde:

X0 = la semilla (X0 >0)

a = el multiplicador (a > 0)

c = constante aditiva (c > 0)

m = el módulo (m>X0, m>a y m>c)

Esta relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a Xn + c entre el módulo. Lo anterior significa que los valores posibles de Xn+1 son 0,1, 2, 3,.... m —1, es decir, m representa el número posible de valores diferentes que pueden ser generados.

Se advierte la necesidad de establecer algunas reglas que puedan ser utilizadas en la selección de los valores de los parámetros, para que el generador resultante tenga período completo. Algunas de estas reglas se mencionan a continuación:

a) Selección de m.

Existen dos opciones para seleccionar el valor apropiado del módulo:

1.         Seleccionar m de modo que sea el número primo mas grande posible y a que a su vez sea menor que pd, donde p es la base del sistema (binario, decimal, hexadecimal, etc.) que se esta utilizando y d es el número de bits que tiene una palabra de computadora en ese sistema. Por ejemplo, si se tiene una computadora que trabaja en sistema binario, entonces p = 2 y  d = 32.

2.         Seleccionar m como pd. Cuando m toma este valor se facilita el cálculo del número rectangular (Un = Xn/m), ya que solo se corre el punto binario o decimal a la izquierda del número. Sin embargo, se ha comprobado que cuando el módulo toma este va­lor, los últimos dígitos del número seudo aleatorio generado no se comportan en forma aleatoria.

CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO

Al igual que el generador congruencial mixto, el generador congruencial multiplicativo determina el próximo número seudo alea­torio a partir del último número generado, de acuerdo a la siguiente relación de recurrencia:

Xn+1= a Xn  mod m    

Para este generador se recomienda también seleccionar adecuadamente los valores de los parámetros a, X0 y m, con el fin de asegurar un período máximo para las sucesiones generadas por este método. Los valores de estos parámetros dependerán del sistema en que se trabaje, es decir, estos parámetros tomaran valores distintos si se trabaja en sistema decimal, que si se trabaja en sistema binario. Por consiguiente, a continuación se describen las reglas que se recomiendan seguir para seleccionar los valores de a, X0 y m dependiendo de si el sistema en que se trabaja es binario o decimal.

a) Sistema decimal

Si se trabaja en sistema decimal, los valores de los parámetros deben ser seleccionados de acuerdo a los siguientes criterios:

1.   El valor de la semilla puede ser cualquier entero impar no di­visible entre 2 ó 5 y debe ser relativamente primo a m.

2.   El valor seleccionado de a debe ser obtenido de acuerdo a la siguiente identidad:

a = 200 t ± p

METODO DE GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS

- MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

Muchas variables aleatorias incluyendo la normal,  binomial,  poisson, gamma, erlang, etc., se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias.

El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria  x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias:

x=b1x1+ b2x2 +…+bkxk

En este método se necesita generar k números  aleatorios (u1,u2,...,uk) para generar (x1,x2,...xk) variables aleatorias usando alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se desea obtener por convolución.

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA.

El método de la transformada inversa utiliza la distribución acumulada F(x) de la distribución que se va a simular. Puesto que F(x) esta definida en el intervalo (0-1), se puede generar un número aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue un distribución de probabilidad f(x), se determina al resolver la siguiente ecuación.

F(x) = R ó x = F^-1 (R)

La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es difícil encontrar la transformada inversa. Sin embargo si esta función inversa ya ha sido establecida, generando números aleatorios uniformes se podrán obtener valores de la variable aleatorio que sigan la distribución de probabilidad deseada.